利用均值不等式求最值的方法

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一、配凑

1. 凑系数

例当时,求的最大值。

解析:由知,,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意到为定值,故只需将凑上一个系数即可。

当且仅当x=2时取等号。

所以当x=2的最大值为8。

小结:本题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均值不等式求最大值。

2. 凑项

例已知,求函数的最大值。

解析:由题意知,首先要调整符号,又不是定值,故需对进行凑项才能得到定值。

当且仅当时等号成立。

小结:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。

3. 分离

例求的值域。

解析:本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项,再将其分离。

当时

(当且仅当x=1时取“=”号)。

当时

(当且仅当x=-3时取“=”号)。

∴的值域为。

小结:分式函数求最值,通常化成,g(x)恒正或恒负的形式,然后运用均值不等式来求最值。

二、整体代换

例已知,求的最小值。

解法1:不妨将乘以1,而1用a+2b代换。

当且仅当时取等号,由

的最小值为。

解法2:将分子中的1用代换。

小结:本题巧妙运用“1”的代换,得到,而与的积为定值,即可用均值不等式求得的最小值。

三、换元

例5. 求函数的最大值。

解析:变量代换,令

当t=0时,y=0

当且仅当时取等号。

故。

小结:本题通过换元法使问题得到了简化,而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题,从而为构造积为定值创造有利条件。

四、取平方

例6. 求函数的最大值。

解析:注意到的和为定值。

又,所以

当且仅当时取等号。

故。

小结:本题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用均值不等式创造了条件。

总之,我们利用均值不等式求最值时,一定要注意“一正二定三相等”,同时还要注意一些变形技巧,积极创造条件利用均值不等式。


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